Daniel Larsen a diciassette anni ha chiuso la domanda sui numeri di Carmichael rimasta aperta dal 1994

L'allegato di uno sconosciuto

Daniel Larsen a diciassette anni ha chiuso la domanda sui numeri di Carmichael rimasta aperta dal 1994

Novembre duemilaventuno. Andrew Granville, un matematico che insegna all'Université de Montréal e che di mestiere studia i numeri primi, apre la sua posta elettronica e ci trova il solito, un allegato da uno sconosciuto. Granville è uno dei nomi importanti del suo campo, e chi ha quel genere di nome riceve, come tutti quelli che lavorano sui numeri primi, la posta dei dilettanti. Arriva regolarmente, dimostrazioni di congetture famose, teoremi che chiudono in tre pagine questioni aperte da secoli, allegati che si aprono su un errore elementare entro il secondo paragrafo. Con il tempo, si impara a riconoscerli già dall'oggetto della mail, senza nemmeno aprirla. Questa arriva a novembre duemilaventuno. Il mittente non ha un'affiliazione sotto il nome, nessuna università, nessun dipartimento, nessun titolo. Nient'altro che un nome, e un allegato. Granville lo apre come si apre una cosa che si potrebbe benissimo cestinare, e comincia a leggere aspettandosi il punto in cui il ragionamento cede. Con la posta dei dilettanti quel punto arriva sempre, prima o poi, una sottrazione che non torna, una regola applicata dove non vale, un erroreelementare entro il secondo paragrafo. Il punto non arriva. Le pagine reggono. Reggono oltre il secondo paragrafo, oltre la terza pagina, oltre il punto in cui chiunque altro avrebbe già sbagliato. E a un certo momento Granville si ferma, e capisce che cosa sta leggendo davvero, la risposta alla domanda che lui stesso aveva lasciato aperta ventisette anni prima, in un articolo firmato insieme ad altri due matematici, su una rivista che pubblica solo quattro numeri l'anno e fa aspettare anche i migliori. Chi gli ha scritto non è un collega. Non è un professore di qualche dipartimento sconosciuto. Il mittente si chiama Daniel Larsen. Ha diciassette anni, sta facendo l'ultimo anno alla Bloomington High School South, una scuola superiore dell'Indiana, negli Stati Uniti. E quelle pagine che reggevano sotto gli occhi di uno dei massimi esperti al mondo di numeri primi le ha scritte in camera sua. Lo stesso novembre, il giorno cinque, Daniel ha depositato il lavoro su arXiv, l'archivio pubblico dove i matematici mettono i loro lavori prima che una rivista li accetti, leggibili da chiunque e gratis. Vuol dire che in quel momento, da qualsiasi posto del mondo, chiunque poteva scaricare la risposta a una domanda rimasta aperta per ventisette anni, scritta da un ragazzo delle superiori, in camera sua, in Indiana.

I numeri che mentono

Per capire che cosa c'era in quell'allegato, bisogna prima passare da un problema che sembra da scuola elementare e non lo è affatto, dato un numero, come si fa a sapere se è primo? Se il numero è piccolo, si prova a dividerlo. Ma se ha mille cifre, e badate bene, i numeri che tengono in piedi la crittografia di internet ne hanno più o meno tante, provarlo a dividere per tutti i suoi possibili fattori richiederebbe più tempo dell'età dell'universo. Quindi non si fa così. Si usano delle scorciatoie, prove velocissime che pongono al numero una domanda ben precisa, una domanda alla quale un numero primo risponde sempre in un certo modo. Se il numero risponde male, è composto, e la faccenda è chiusa in un attimo. Se risponde bene, quasi sempre è primo. Quasi sempre. Perché esistono dei numeri composti che rispondono bene lo stesso. Non a una domanda, non a due, a tutte. Sono composti a tutti gli effetti, si possono spezzare in fattori, hanno divisori, eppure superano la prova qualunque numero si scelga per interrogarli. Dei bugiardi perfetti. Il più piccolo è cinquecentosessantuno, che è tre per undici per diciassette. Poi ne vengono altri, e il settimo è ottomilanovecentoundici, sotto diecimila ce ne sono in tutto sette. Si chiamano numeri di Carmichael. Sono rari, sono sparsi qua e là, e per un secolo intero la matematica ha fatto una fatica sproporzionata anche solo a capire quanti fossero.

Tre modi di arrivare primo e non contare

Millottocentoottantacinque. Un matematico ceco di nome Václav Šimerka sta lavorando su quei numeri bugiardi, i numeri che si spacciano per primi senza esserlo. E li trova. Li trova tutti e sette, dal più piccolo, cinquecentosessantuno, fino al più grande, ottomilanovecentoundici. Venticinque anni prima di chiunque altro al mondo. Li pubblica, ma li pubblica su una rivista regionale, il Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, e li pubblica in ceco. Risultato, il suo lavoro resta inosservato. Non lo legge nessuno che conti, e la cosa finisce lì. Per più di un secolo. Poi, millottocentonovantanove, arriva un altro matematico, Korselt. Lui la regola la capisce, individua per primo le proprietà di fondo che questi numeri devono avere, il criterio per riconoscerli tutti, non uno per uno ma come famiglia. Ma c'è un dettaglio, non ne esibisce nemmeno uno. Ha il criterio in mano, e non ha gli esempi. E nel millenovecentodieci? Robert Carmichael pubblica cinquecentosessantuno. Un numero. Uno solo. Quello stesso cinquecentosessantuno che Šimerka aveva trovato venticinque anni prima, e che Korselt avrebbe potuto costruire in un attimo partendo dalla sua stessa regola. Eppure, la classe di numeri porta il suo nome. Non si chiamano numeri di Šimerka. Non si chiamano numeri di Korselt. Si chiamano numeri di Carmichael. Tre modi diversi di arrivare primi e non contare. E il premio, al terzo. È una cosa che succede spesso, in matematica, e quasi sempre per lo stesso motivo, non conta chi capisce, conta chi viene letto.

1994, domanda e risposta

Nel millenovecentonovantaquattro, tre matematici, William Alford, che tutti chiamavano Red, Andrew Granville e Carl Pomerance, pubblicano sugli Annals of Mathematics, la rivista più prestigiosa del mondo per la matematica, un risultato che chiude la domanda più vecchia sui numeri di Carmichael, quei numeri bugiardi che si spacciano per primi sono infiniti. Non solo, sotto un numero qualsiasi, ce ne sono moltissimi, almeno quel numero elevato a due settimi, per chi vuol sentire la misura esatta. Una questione aperta da decenni, risolta. E nello stesso articolo, gli stessi tre autori scrivono una cosa che sembra impossibile, non sanno dove siano, questi infiniti numeri. Fermiamoci un attimo qui, perché questo cortocircuito è il motore di tutta la storia. Dimostrare che una cosa è infinita significa dimostrare che, per quanto avanti si vada, ce n'è sempre un'altra. Ma non dice quanto lontano bisogna andare per trovarla. Potrebbero essercene sette sotto diecimila, e poi il vuoto per un tratto inimmaginabile, e poi di nuovo qualcuno, e ancora il vuoto. L'infinità non esclude i deserti. Per i numeri primi, veri, questa domanda è risolta da quasi due secoli. C'è un teorema dell'Ottocento, il postulato di Bertrand, che dice una cosa semplice e bellissima, fra un numero e il suo doppio si trova sempre un primo. Sempre. Nessun deserto, mai. E allora Alford, Granville e Pomerance posero la stessa domanda, parola per parola, per gli impostori, fra un numero e il suo doppio, c'è sempre un numero di Carmichael? Granville, ripensandoci a distanza di anni, l'ha detta così, uno penserebbe che se riesci a dimostrare che ce ne sono infiniti, allora dovresti anche riuscire a dimostrare che non ci sono grossi vuoti fra loro. Non ci riuscirono. Nessuno ci riuscì per ventisette anni. E dei tre nomi sulla copertina di quell'articolo, uno, Red Alford, non c'era più, per vedere come sarebbe andata a finire.

Bloomington, Indiana

Bloomington, Indiana. Chi entra in questa storia attraverso una cartina la cercherebbe nel mezzo del paese, una cittadina universitaria come ce ne sono tante, con case di due piani su strade tranquilli dove non passa quasi nessuno. In una di quelle strade, proprio davanti a una scuola elementare, vive verso il duemilanove una famiglia dove la matematica non è un compito a casa ma un mestiere di famiglia, il padre e la madre lavorano entrambi al dipartimento di matematica della Indiana University. Lui si chiama Michael Larsen, è professore ordinario, un Distinguished Professor, come si dice negli atenei americani, e lei, Ayelet Lindenstrauss, è professoressa anche lei. C'è poi una sorella maggiore, Anne, che già al liceo frequentava corsi di matematica di livello universitario, il che dà un'idea dell'aria che si respirava in quel soggiorno. Il figlio si chiama Daniel, e di lui conviene partire da un'immagine, a tre anni si siede al computer, cerca su YouTube i concerti di musica classica, e dirige l'orchestra. Da solo, con le braccia, seguendo la musica. La madre, di quel periodo, si ricorda però di altro. Delle domande sull'infinito, quelle che un bambino di tre anni fa e che un adulto fatica a chiudere. E della mania che il piccolo aveva di cercare schemi dove sembrava non essercene nessuno, come se il mondo, per lui, fosse un puzzle a cui mancava solo qualcuno che si prendesse la briga di guardarlo abbastanza a lungo. Il sabato, in quella casa, il padre tiene un circolo di matematica per i bambini del quartiere, e Daniel ci entra a quattro anni. Da lì in poi arriva il resto, le cose che fanno i bambini di quel tipo, come probabilmente li chiamereste voi ascoltandoli. Il cubo di Rubik risolto in quarantacinque secondi e abbandonato il giorno dopo, non perché si fosse stancato, ma perché risolto quello classico il gioco vero erano diventati i cubi più grandi, il quattro per quattro, poi il cinque per cinque, poi il sette per sette. Il violino iniziato a cinque anni, il pianoforte a sei. E poi c'è un robot. Un robot di Lego, costruito per separare le monete di rame da quelle di zinco, e nelle parole dello stesso costruttore, una frase che vale la pena ascoltare bene, non funzionava molto bene. Tenetevi quel robot che non funzionava molto bene, perché in questa storia le cose riuscite arrivano quasi sempre dopo una fila di cose non riuscite. E la fila, non il successo che sta in fondo alla fila, è la parte importante.

Il divano giallo e otto no

La famiglia Larsen, a casa sua a Bloomington nell'Indiana, è seduta su un divano giallo e prova a finire il cruciverba del New York Times. Non ci riesce. Nessuno di loro ci riesce. Da quel fallimento familiare parte tutto. Il figlio, Daniel, che allora ha nove o dieci anni, si ritrova in testa un pensiero che a quell'età non è affatto ovvio, se non riesco a risolvere questi schemi, forse posso costruirli, e allora sarò io a mettere in difficoltà gli altri. Per il suo dodicesimo compleanno chiede due regali soltanto, un elenco di parole del dizionario, e un programma per comporre griglie. Il programma non lo trova in nessun negozio, glielo scrive il padre, a misura. E poi comincia a spedire. I cruciverba finiti finiscono sulla scrivania di Will Shortz, il curatore della pagina cruciverba del New York Times, e in quel mestiere lui è l'unico cancello che esista, passa solo quello che lui dice che passa. Il primo cruciverba di Daniel torna indietro. Anche il secondo. Il terzo, il quarto, il quinto. E ancora. La rivista locale di Bloomington, il Bloom Magazine, lo racconterà con una frase rimasta appiccicata alla storia, gli ci sono voluti nove tentativi per essere pubblicato. Al nono, Shortz finalmente dice sì. La griglia accettata è a tema Elmer Fudd, il cacciatore balbuziente dei cartoni animati. Esce sul Times il quattordici febbraio duemiladiciassette. È San Valentino, ed è un martedì, e i martedì, per convenzione di quella pagina, sono il giorno delle griglie facili. Daniel ha tredici anni ed è il costruttore più giovane che il Times abbia mai pubblicato. Shortz gli fa i complimenti per il suo vocabolario, gli sembra colorato, fresco, succoso. Di cruciverba ne seguiranno altri dieci, pagati settecentocinquanta dollari l'uno. Nello stesso periodo Daniel prova anche un altro palco, lo Scripps National Spelling Bee, il campionato nazionale di ortografia che in America va in televisione. Sale sul palco con la maglietta portafortuna, quella con il leone. Viene eliminato due volte prima di arrivare al turno finale dei cinquanta migliori, l'ultima eliminazione arriva su un nome proprio di sette lettere. Non il suo momento migliore, dirà lui stesso. Ora fermiamoci un momento, perché queste due cose messe una accanto all'altra dicono quasi tutta la storia che segue. A tredici anni, Daniel incassa otto no di fila da un curatore di cruciverba. A diciassette chiude un problema che i matematici tenevano aperto da ventisette anni. E la differenza non sta nella difficoltà. Sta qui, un teorema lo puoi caricare su arXiv, l'archivio online dove i matematici pubblicano, e da lì lo leggerà chiunque voglia leggerlo. Un cruciverba, invece, deve passare dal giudizio di una persona sola che decide se entra o non entra. Otto no, prima del sì.

Un uomo che dormiva in macchina

Alle medie, Larsen, il ragazzo della lettera, quello che di lì a poco avrebbe scoperto i numeri bugiardi, vede un documentario che si chiama Counting from Infinity. Racconta la storia di un matematico cinese, Yitang Zhang. Ed è da lì che comincia tutto. Chi era Zhang, prima che il mondo lo scoprisse? Un matematico che la matematica non aveva riconosciuto. Aveva fatto il contabile. Aveva lavorato in una catena di panini, poi nella metropolitana. Aveva passato notti dormendo in macchina. Poi, nel duemilatredici, a cinquantasette anni, manda alla rivista più prestigiosa del settore, gli Annals of Mathematics, un lavoro. Loro lo accettano. E quel lavoro, da solo, apre una delle stagioni più rapide della matematica recente. La questione era questa. I numeri primi diradano man mano che si avanza sulla linea dei numeri, e nessuno sa dire se prima o poi si allontanino uno dall'altro senza più fine. Nel duemilacinque, tre matematici, Goldston, Pintz e Yıldırım, avevano dimostrato che i buchi fra un primo e il successivo diventano piccoli rispetto alla media. Ma non erano riusciti a chiuderli dentro un limite fisso. Otto anni passati a un passo dal traguardo. Zhang quel passo lo fece, dimostrò che esistono infinite coppie di numeri primi distanti meno di settanta milioni. Settanta milioni è un numero ridicolo, ed è esattamente il punto. Perché è un numero finito. Una volta che c'è un limite, per quanto enorme, il problema cambia natura. Da lì fu una discesa, James Maynard e Terence Tao, con un metodo diverso, portano il limite a seicento, poi un progetto collettivo, molti matematici che lavorano insieme sotto il nome Polymath otto b, lo porta a duecentoquarantasei nell'aprile del duemilaquattordici. E ammettendo una congettura ancora non dimostrata, si arriva a sei. Ma fermiamoci su quello che Larsen si porta a casa, uscendo dal documentario. Non è il talento precoce, Zhang aveva cinquantasette anni ed era arrivato da fuori, da una vita in cui nessuno lo guardava. È un'altra cosa, più semplice e più pericolosa, si poteva fare. Così prova. Prova a leggere gli articoli di Maynard e di Tao, quelli che avevano ripreso il lavoro di Zhang e lo avevano spinto oltre. E non ci riesce. Era praticamente impossibile, dirà anni dopo. Prova, si confonde, fa un passo indietro, ristudia le basi da capo, riprova. Per anni, quello è tutto il suo lavoro, leggere qualcosa che non si capisce, finché non si capisce.

Gli attrezzi dei primi

L'idea, quando arriva, sta in una riga. Quella macchina di cui abbiamo parlato, quella che i matematici avevano costruito per misurare le distanze fra numeri primi veri, è fatta proprio degli attrezzi giusti per i falsi. Perché i numeri di Carmichael, i numeri bugiardi, si costruiscono moltiplicando insieme numeri primi scelti bene. E allora il ragionamento si ribalta, se riesco a controllare dove stanno i primi che servono, controllo anche dove stanno gli impostori che ne risultano. Gli attrezzi dei primi, puntati sugli impostori dei primi. Larsen porta l'idea al padre. E qui va detto chi è il padre, perché altrimenti la cosa non si capisce, il padre, Michael Larsen, di mestiere fa esattamente quel mestiere, è un matematico, uno che quelle macchine le maneggia per lavoro. Il giudizio del padre è netto, possibile, sì. Ma molto improbabile. E ci sono buone probabilità di buttare via qualche mese. Lo dice chiaramente al figlio, e poi lo lascia fare. E badate bene, siamo nell'ultimo anno di liceo, quello delle domande di ammissione all'università, quello in cui ogni settimana dovrebbe contare per il futuro. La scommessa la fa il genitore quanto il ragazzo. Sei mesi. Sei mesi in cui, attorno alle equazioni, continuano a esserci i compiti, i moduli da riempire per i college, le cene in famiglia, e, in mezzo a tutto questo, la teoria analitica dei numeri. Qui va detta una cosa su Larsen, perché altrimenti il ritratto non torna. Lui si definisce pigro. E porta le prove, una volta è rimasto seduto per un'intera lezione senza vedere la lavagna, perché spostarsi di qualche banco più avanti gli sembrava una fatica eccessiva. Un'altra volta ha sopportato il freddo pur di non alzarsi a prendere il cappotto. Questo stesso ragazzo, ora, passa mesi dentro le equazioni di una dimostrazione di una ventina di pagine, scritta da un matematico di prima grandezza. Non è pigrizia. È che l'energia va tutta in un posto solo, e da tutti gli altri posti viene ritirata. E allora, che cosa esce da questi sei mesi? Qualcosa di più forte della domanda che Alford, Granville e Pomerance avevano lasciato aperta nel millenovecentonovantaquattro. Loro avevano chiesto, ce n'è sempre almeno uno, di questi numeri bugiardi, fra x e il suo doppio?, cioè, in una finestra larga quanto tutto il tratto già percorso. Larsen dimostra molto di più. La formula, alla lettera, è questa, e si dice una volta sola, fissato un margine delta, grande quanto si vuole ma positivo, e preso x abbastanza grande, fra x e x più x diviso logaritmo di x elevato a uno diviso due più delta, ci sono almeno e elevato a logaritmo di x diviso logaritmo del logaritmo di x, elevato a due più delta, numeri di Carmichael. Tradotto in parole semplici, non uno solo, in una finestra larga come tutto il tragitto fatto finora. Moltissimi, in una finestra enormemente più stretta. Il deserto, quello di cui tutti avevano paura, non c'è.

Lo scambio di posta

Riprendiamo Montréal, la scrivania di Andrew Granville, quel matematico che un giorno aveva aperto l'allegato di uno sconosciuto e si era trovato davanti una dimostrazione. Ricordate la lettera, quella del ragazzo che scriveva dal liceo? Ecco, Granville le ha risposto. E non risponde con un bravo. Risponde con obiezioni, i punti dove il ragionamento gli sembra tirato, le cose da chiarire, quello che un revisore qualunque avrebbe demolito senza pietà. È il trattamento che si riserva a un collega, e se lo fa con un diciassettenne è perché quel diciassettenne ha scritto qualcosa che un trattamento da collega merita, a chi ha fatto davvero un buon lavoro le lusinghe non servono, servono le domande giuste. Poi passano poche settimane, e le revisioni tornano indietro andando oltre quello che Granville stesso si aspettava. Carl Pomerance, sì, lui, uno dei tre che nel millenovecentonovantaquattro avevano firmato quella domanda insieme a Granville e Alford, lo dice senza un filo di sconto, la dimostrazione è davvero molto avanzata, di quelle che farebbero onore a qualunque matematico come autore. E a scriverla, invece, è un ragazzo del liceo. E Granville aggiunge la frase che pesa più di tutte, perché non parla dell'età ma del mestiere, lui, dice, ha più controllo su queste cose di quanto ne abbiamo mai avuto noi. Noi, i tre che la domanda l'avevano posta quasi trent'anni prima. L'articolo viene depositato sul server pubblico di preprint, dove i matematici mettono i lavori prima che siano pubblicati, il cinque novembre duemilaventuno, poi esce definitivamente, online, il venti luglio duemilaventidue, su una rivista internazionale di ricerca matematica, ventisette pagine a stampa, fitte di numeri che avevano tenuto occupato mezzo secolo di studiosi. Nel frattempo, mentre l'articolo faceva il suo cammino tra revisioni ed editori, Larsen ha finito il liceo. Il ragazzo della lettera, in quel senso, non c'è più, quello che c'è adesso è un autore pubblicato.

Quello che è successo dopo

Marzo duemilaventidue, fiera scientifica Regeneron Science Talent Search, la più vecchia competizione di ricerca per studenti delle scuole superiori degli Stati Uniti sceglie quaranta finalisti in tutto il paese. Fra i nomi c'è quello di Daniel Larsen, il ragazzo dei numeri di Carmichael, indicato con la sua scuola, la Bloomington High School South, e con un progetto che porta lo stesso titolo dell'articolo che avete sentito all'inizio di questa storia. Arriva quarto, e come premio per il quarto posto porta a casa centomila dollari. È il premio più ricco della sua adolescenza, e non gliel'ha dato la matematica. Quell'autunno si iscrive al Massachusetts Institute of Technology, il grande politecnico di Boston. Poi il filo si fa più sottile, come succede a tutti quando l'età smette di essere una notizia. Nel duemilaventicinque firma un lavoro sulle progressioni aritmetiche, reso pubblico prima della pubblicazione su una rivista. E in ottobre un altro lavoro, questa volta insieme a Thomas Wright, un matematico con cui condivide la passione per i numeri di Carmichael, il tema è ancora quello, ma con un numero fissato in partenza di fattori primi. Il ragazzo che scriveva da solo in camera, senza scuola, senza università alle spalle, adesso ha coautori. E nel gennaio duemilaventisei deposita un altro di questi lavori, scritto insieme a Michael Larsen. Michael Larsen è suo padre, il professore di matematica dell'Indiana che, quando il figlio undicenne gli aveva chiesto se poteva dimostrare la congettura di Goldbach, aveva risposto possibile, ma molto improbabile. Adesso quel padre è un coautore. Nel duemilaventisei il premio Morgan, quello che le tre grandi società matematiche americane assegnano ogni anno al miglior lavoro di ricerca di uno studente universitario, va a Yunseo Choi. Larsen riceve una menzione d'onore, insieme a Eliot Lee e Juhon Hodges. La motivazione parla di contributi sostanziali a congetture di vecchia data nella teoria analitica dei numeri sui numeri di Carmichael, che mostrano un alto livello di creatività e padronanza di molti strumenti e approcci diversi. Tradotto, ha fatto sul serio. Ma quattro anni dopo quella sera a tarda ora in cui il mondo ha scoperto un ragazzo di diciassette anni, nella classifica della sua generazione, non è primo. Ed è qui che la storia gira su se stessa, perché resta una cosa da mettere in fila, ed è la più interessante di tutte. Nel milleottocentoottantacinque, Václav Šimerka, l'insegnante di matematica boemo di cui avete sentito parlare, aveva in mano gli stessi sette numeri che poi avrebbero preso il nome di Carmichael. Li aveva trovati, li aveva pubblicati. E il suo lavoro è rimasto fermo per decenni, perché era scritto in ceco su una rivista che nessuno leggeva, nel milleottocentoottantacinque non c'era altro modo di farsi leggere che essere già dentro. Nel duemilatredici Yitang Zhang è stato riconosciuto dal mondo intero a cinquantasette anni, dopo gli anni dei panini e delle notti dormite in macchina, perché aveva mandato il lavoro giusto alla rivista giusta, e qualcuno l'aveva letto. Nel duemilaventuno un diciassettenne senza università, senza nome, senza niente ha caricato un file su un archivio pubblico e ha scritto a un professore a duemila chilometri di distanza, e quel professore aveva l'abitudine di aprire la posta degli sconosciuti. Fra Šimerka e Larsen non è cambiata la matematica. È cambiato quanto tempo ci mette una cosa vera a essere vista da chi la può capire. Non conta chi capisce, conta chi viene letto. E poi c'è l'ultima immagine, che vale quanto tutto il resto. Non è una premiazione, non è un assegno, non è un riconoscimento. È Daniel Larsen sveglio di notte, nel suo letto, che fissa il soffitto. Perché ce n'è un altro, di problema. E non lo lascia dormire.