Gli orologi del GPS guadagnano 38 microsecondi al giorno: il tempo non scorre uguale per tutti

Trentotto microsecondi al giorno

Apri le mappe sul telefono e il puntino blu ti mette dal lato giusto della strada. Per farlo, il telefono non ti «vede»: ascolta i segnali di alcuni satelliti che gli passano sopra la testa a 20 200 chilometri di quota, misura quanto tempo ci hanno messo ad arrivare, e da quel tempo ricava la distanza. Distanza uguale velocità della luce per tempo di volo: tutta la faccenda sta lì.

Il che significa che il GPS non è un sistema di posizione. È un sistema di orologi. E la precisione della posizione non può essere migliore della precisione con cui si conosce il tempo, perché è lo stesso numero visto da due parti.

Ecco allora quanto vale il tempo, in metri. In un microsecondo la luce percorre poco meno di trecento metri. Un solo microsecondo di errore sull'orologio di un satellite sposta il punto blu di trecento metri: ti mette in un'altra via.

E qui arriva il fatto da cui parte tutto. L'orologio atomico di ogni satellite GPS, confrontato con uno identico rimasto a terra, guadagna 38 microsecondi al giorno. Ogni giorno. Non perché sia tarato male, non perché il freddo dello spazio lo disturbi: perché lassù il tempo passa a un ritmo diverso.

Se nessuno se ne occupasse, scrive Richard Pogge nella pagina didattica della Ohio State University, «errors in global positions would continue to accumulate at a rate of about 10 kilometers each day» — gli errori di posizione continuerebbero ad accumularsi al ritmo di circa dieci chilometri al giorno. La posizione sarebbe già falsa dopo due minuti dall'accensione.

Se ne occupa qualcuno, e in un modo che vale la pena di guardare da vicino: gli orologi dei satelliti vengono tarati a terra, prima del lancio, su una frequenza volutamente sbagliata, calcolata in modo che una volta in orbita risultino giusti. La relatività non è una correzione che il software applica dopo. È dentro l'hardware, saldata alla partenza.

Tieni da parte due stranezze, perché sono le due porte da cui si entra in questa storia. La prima: quegli orologi vanno avanti, non indietro — e vedremo che tutto ciò che stiamo per raccontare sul movimento dice il contrario, che chi corre resta indietro. La seconda: 38 non è la misura di un effetto. È il resto di una sottrazione fra due effetti che tirano in direzioni opposte.

Per capire quel resto bisogna cominciare da una domanda che sembra sciocca, e non lo è: mentre leggi questa frase, sei fermo?

Fermo rispetto a che cosa?

Sei seduto. La sedia non si muove, il pavimento nemmeno, il bicchiere sul tavolo sta dove l'hai lasciato.

Intanto la Terra ti sta portando attorno al Sole a 29,78 chilometri al secondo, cioè 107 208 chilometri l'ora. E il Sole, con tutto il sistema solare appeso, sta girando attorno al centro della Galassia: qui il numero dipende da quanto lontani dal centro si assume che siamo. Lo standard dell'Unione Astronomica Internazionale dà 220 chilometri al secondo, con il Sole posto a kiloparsec 8,5 kiloparsec dal centro; i dati delle missioni Gaia e RAVE danno 240 chilometri al secondo, cioè 864 000 chilometri l'ora; un'altra scheda dati arriva a 251. Non esiste un unico numero ufficiale, e non è una sciatteria: è una misura ancora in discussione, e il disaccordo riguarda la distanza dal centro, non la velocità.

Eppure nulla di tutto questo ti preme addosso. Il caffè non si rovescia, i capelli non ti si scompigliano.

Fai un esperimento mentale che chiunque abbia preso un treno ha già fatto per metà. Sei in carrozza mentre il treno corre, e lanci una palla in avanti. Per te la palla parte con la velocità del tuo lancio, e basta. Per una persona ferma sulla banchina, quella stessa palla si muove alla velocità del tuo lancio più quella del treno. Chi ha ragione? Tutti e due. Sono due misure diverse della stessa palla, ed entrambe sono giuste, perché la velocità non è una proprietà che la palla si porta addosso: è una relazione fra due cose.

La versione che ti capita tutte le volte che prendi un aereo è il tapis roulant dell'aeroporto: chi ci cammina sopra e chi lo guarda da fermo attribuiscono alla stessa persona due velocità diverse, e nessuno dei due sta sbagliando i conti. Metti però subito un segnalibro su questa immagine, perché fra poco la useremo per farla saltare: sul tapis roulant le velocità si sommano davvero, e questa è esattamente la cosa che con la luce smette di funzionare. La teniamo solo per il gusto di vederla smentire.

L'idea generale è che il moto non è assoluto. Non esiste nessun esperimento che riveli chi si sta muovendo per davvero, perché non esiste uno sfondo fisso dell'universo rispetto al quale misurare. Si può solo dire quanto veloce va una cosa rispetto a un'altra, e tutte le risposte sono ugualmente vere.

Il che porta alla domanda successiva, e stavolta è una domanda vera: se ogni velocità è relativa a qualcos'altro, c'è qualcosa su cui l'universo non tratta?

Il fiume in cui non c'era corrente

Nell'Ottocento la luce era stata riconosciuta come un'onda, e per un'onda si dava per scontata una cosa ovvia: le onde sono increspature di qualcosa. Il suono increspa l'aria, le onde del mare increspano l'acqua. Dunque la luce doveva increspare un mezzo che riempiva tutto lo spazio, e lo chiamarono etere etere.

Se l'etere esiste, la Terra ci sta dentro e ci corre attraverso. Quindi la luce che viaggia nella direzione del nostro moto e la luce che viaggia di traverso dovrebbero comportarsi in modo diverso — come chi nuota in un fiume.

Tieni questa immagine, perché è esattamente quella che avevano in testa. Due nuotatori nello stesso fiume, stessa bravura. Uno risale la corrente per cento metri e torna indietro; l'altro attraversa di traverso per cento metri e torna. Se c'è corrente, i due non impiegano lo stesso tempo, e la differenza dipende da quanto è forte la corrente. Il limite di questa analogia va detto adesso, prima del resto: nel fiume la corrente c'è e la differenza si misura. L'immagine dei due nuotatori descrive alla perfezione ciò che ci si aspettava, e non ciò che si è trovato.

Lo strumento per trovarla fu l'interferometro interferometro: una sorgente di luce, uno specchio semiriflettente che divide il raggio in due, due bracci perpendicolari con uno specchio in fondo a ciascuno, e la ricombinazione dei due raggi su uno schermo, dove appaiono frange chiare e scure. Se i due bracci impiegano tempi anche minimamente diversi, le frange si spostano. E ruotando l'intero apparato — così che il braccio «controcorrente» diventi quello «di traverso» — lo spostamento doveva cambiare, in modo prevedibile.

Nel 1887 Albert Michelson ed Edward Morley costruirono l'apparato più sensibile del loro tempo e guardarono. Le frange non si muovevano. Lo spostamento misurato fu «one-fortieth of the expected displacement, within experimental error margins allowing the speed to actually be zero»: circa un quarantesimo di quello previsto, e dentro i margini d'errore compatibile con zero esatto.

Qui succede la cosa che rende questo un pezzo di scienza e non un incidente. Un risultato nullo può sempre essere un difetto dello strumento, o una stagione sfortunata: magari la Terra, in quel momento dell'anno, si muoveva rispetto all'etere per caso poco. Morley e Dayton Miller non si accontentarono del proprio stesso risultato: fra il 1902 e il 1904 rifecero la campagna cercando esplicitamente uno schema che tornasse ogni giorno o ogni anno. Non c'era. E l'assenza ripetuta di quello schema trasformò un dubbio sullo strumento in un fatto di natura.

Oggi la stessa domanda si fa con risonatori ottici criogenici, e l'ipotesi che la velocità della luce dipenda dalla direzione è esclusa fino a una parte su 10¹⁷: circa quindici ordini di grandezza meglio del 1887.

C'è un'idea, in questa vicenda, che vale da sola quanto la fisica che ne è uscita: cercare con cura una cosa e non trovarla, quando ti aspettavi di trovarla per forza, dice sul mondo più di mille conferme. Il fallimento di Michelson e Morley è probabilmente la misura più importante dell'Ottocento.

E dice questo: comunque tu corra, e in qualunque direzione tu guardi, la luce ti passa accanto sempre alla stessa identica velocità. Il tapis roulant, qui, è finito. Con la palla sul treno le velocità si sommavano; con la luce quell'addizione elementare — l'addizione che chiunque farebbe, quella che a scuola è semplicemente giusta — smette di funzionare.

Restava da capire che cosa si rompe al posto suo.

L'impiegato dell'ufficio brevetti

Dal 23 giugno 1902 un giovane laureato in fisica che non era riuscito a ottenere un posto all'università lavorava allo sportello dell'ufficio brevetti di Berna con la qualifica di «Technical Expert Class III», esperto tecnico di terza classe. Nel 1905, continuando a lavorare a tempo pieno, pubblicò sugli Annalen der Physik quattro articoli che rifondarono la fisica. Il 30 giugno di quell'anno uscì «Zur Elektrodynamik bewegter Körper», Sull'elettrodinamica dei corpi in movimento.

Quasi tutti, davanti al risultato nullo del 1887, stavano aggiustando l'etere: rendendolo trascinato dalla Terra, o comprimendo gli oggetti che ci si muovono dentro, o inventando meccanismi che nascondessero l'effetto proprio quanto bastava.

Albert Einstein fece il salto opposto, e consiste tutto in una scelta di che cosa tenere fermo. Prese la misura alla lettera: la velocità della luce è la stessa per tutti, punto. E poi si chiese che cosa deve cedere perché quella frase possa essere vera. Se un raggio di luce mi supera alla stessa velocità sia che io stia fermo sia che gli corra dietro, e la velocità è spazio diviso tempo, allora quando io corro dietro alla luce il mio spazio e il mio tempo non possono essere gli stessi di prima.

È un baratto, ed è bene vederlo come tale: si compra la costanza di una grandezza vendendo l'assolutezza di altre due. Il tempo e la lunghezza smettono di essere proprietà del mondo, uguali per chiunque le misuri, e diventano risultati di una misura, che dipendono da chi la fa.

Detta così sembra una furbizia contabile. Ma le conseguenze sono numeriche, precise, e da centoventi anni si continuano a verificare una per una.

Il numero che decide: γ

Tutta la parte quantitativa della faccenda sta dentro un solo numero, chiamato fattore di Lorentz fattore di Lorentz e scritto con la lettera greca gamma:

γ = 1 / √(1 − v²/c²)

dove v è la velocità e c quella della luce. Se un orologio si muove rispetto a te, batte più lentamente del tuo esattamente di quel fattore. Non perché sia rotto: è proprio il tempo che, per lui, passa di meno.

Il punto interessante non è la formula: è la sua forma. A qualunque velocità della vita quotidiana, v/c è così piccolo che γ vale 1 con una lunghissima fila di zeri dopo la virgola, ed è per questo che tutto questo capitolo della fisica è rimasto invisibile fino al 1887. Poi:

• a metà della velocità della luce, γ = 1,155: un orologio resta indietro del quindici per cento;
• a 0,9c, γ = 2,294;
• a 0,99c, γ = 7,089;
• a 0,999999c, γ = 707,107.

Guarda che cosa succede fra il terzultimo e l'ultimo numero. Passare da 0,99c a 0,999999c significa aumentare la velocità di meno dell'un per cento — e l'effetto si moltiplica per cento.

Perché quella forma lì? Perché fra la velocità e il rallentamento c'è una relazione che si scrive in modo sorprendentemente pulito:

(v/c)² + (1/γ)² = 1

Due quantità i cui quadrati sommano a uno: la stessa struttura dei due cateti di un triangolo rettangolo con l'ipotenusa lunga 1.

Un modo per sentirla addosso è camminare in diagonale su un campo. Se punti dritto a nord, avanzi verso nord al massimo. Se ti giri un po' verso est, quello che guadagni verso est lo perdi verso nord — ma all'inizio quasi non si nota, perché per angoli piccoli il guadagno da una parte costa pochissimo dall'altra. Solo quando stai andando quasi tutto verso est il progresso verso nord crolla. È lo stesso ginocchio della curva di γ.

Dove l'analogia del campo smette di funzionare, e va detto: in un campo le due direzioni sono simmetriche e intercambiabili — nord ed est sono la stessa cosa vista da due angoli, e ci si può girare liberamente dall'una all'altra. Spazio e tempo no. Il tempo entra nella geometria con il segno opposto, ed è precisamente questo che impedisce di «girarsi» verso il passato come ci si gira verso est.

Per la stessa ragione, va maneggiata con cura l'immagine molto diffusa del budget di velocità nello spaziotempo: l'idea che ognuno abbia un'unica somma da spendere fra il muoversi nello spazio e l'invecchiare, e che chi ne spende di più da una parte ne abbia di meno dall'altra. L'immagine rende bene la cosa giusta — che il rallentamento non è un guasto dell'orologio, ma il conto che si chiude. Ma inganna due volte: il bilancio non si chiude in linea retta, si chiude sui quadrati, quindi non è un cursore che scorre in proporzione; e nessun laboratorio al mondo misura una grandezza chiamata «velocità totale nello spaziotempo». È una riformulazione geometrica utile per insegnare, non un oggetto misurato.

Un'ultima cosa, e poi lasciamo la matematica. Lo stesso identico γ compare in una seconda formula: L = L₀/γ. Per chi viaggia veloce, le lunghezze nella direzione del moto si accorciano — dello stesso fattore di cui rallenta l'orologio. Non sono due fenomeni da imparare: sono due letture dello stesso numero, il che vuol dire che ogni prova sperimentale dell'uno vale automaticamente per l'altro.

Anche qui, un limite dichiarato: l'immagine dell'oggetto «schiacciato» fa pensare a una compressione del materiale, con forze che lo comprimono e magari lo danneggiano. Non c'è nulla di simile. Nel riferimento dell'oggetto non succede assolutamente niente: è la geometria della misura che cambia.

Da dentro non si sente niente

Qui c'è l'ostacolo che ferma quasi tutti, e conviene affrontarlo di petto. Se il tempo a bordo di un'astronave che viaggia a 0,99c scorre sette volte più lento, l'equipaggio non dovrebbe accorgersene? Non dovrebbero muoversi come al rallentatore, parlare strascicato, sentire il cuore battere con una lentezza mostruosa?

No. E il perché è la cosa più importante di tutto il numero.

Il tempo proprio tempo proprio — quello dell'orologio che uno si porta addosso — è sempre normale. Sempre. La fonte da cui parte questo numero lo dice in una riga che vale tutta la spiegazione: «Their hearts beat normally. Their coffee got cold normally. Their hair grew normally. But fewer of those seconds passed». I loro cuori battevano normalmente. Il loro caffè si raffreddava normalmente. I loro capelli crescevano normalmente. Solo che, di quei secondi, ne sono passati di meno.

Il rallentamento non è una sensazione. Non lo senti mai da dentro, perché non c'è nessun metro interno rispetto al quale sentirlo: rallenta tutto insieme, il cuore e l'orologio e la chimica del caffè che si raffredda e il decadimento degli atomi. Il rallentamento è una cosa che si vede solo nel confronto, quando due orologi che sono stati separati vengono rimessi uno accanto all'altro.

Un'immagine, con il suo limite attaccato. Metti un cubetto di ghiaccio in un bicchiere a bordo e uno identico in un bicchiere a terra: se quello di bordo, visto da terra, ci mette di più a sciogliersi, non è perché il ghiaccio sia diverso o perché il freezer di bordo funzioni meglio. A rallentare non è un meccanismo particolare, è ogni processo — chimico, biologico, nucleare — nella stessa identica misura. Il limite: l'immagine suggerisce che si possa guardare i due bicchieri insieme, nello stesso momento. Ma confrontare due orologi lontani richiede di aver prima stabilito che cosa significhi «nello stesso momento» — che è, come vedremo fra due paragrafi, proprio la cosa che la relatività rende ambigua.

Intanto, i numeri. Prendi un viaggio verso una stella a dieci anni luce da qui.

A 0,99c, la Terra vede il viaggio durare 10,10 anni. A bordo ne passano 1,43.

A 0,999999c, la Terra vede il viaggio durare 10,00 anni. A bordo ne passano 0,0142 anni: cinque giorni e qualche ora.

E adesso l'obiezione giusta, quella che bisogna essersi fatti: se non hanno superato la velocità della luce — e non l'hanno superata — come hanno fatto a coprire dieci anni luce in un anno e mezzo?

Non l'hanno coperta. Per loro, quella distanza non era di dieci anni luce. È la seconda faccia dello stesso γ: a 0,99c, i dieci anni luce si accorciano di 7,089 volte e diventano poco più di un anno luce e mezzo, percorsi a una velocità appena inferiore a quella della luce in poco più di un anno e mezzo. Nessuna magia, nessuna scorciatoia: dal loro punto di vista la strada era davvero più corta. La contrazione delle lunghezze non è una curiosità simmetrica che si aggiunge alla dilatazione dei tempi: è ciò che tiene in piedi il conto.

Non esiste un adesso dell'universo

Adesso la cosa più difficile, che è anche la più bella, e conviene dirla senza attutirla.

Due fatti che per te avvengono nello stesso istante, per una persona che ti passa accanto in corsa avvengono uno prima e uno dopo. E nessuno dei due ha torto.

Non si sta parlando del ritardo con cui la notizia di un evento ci arriva: quello è un fatto banale, si corregge sapendo quanto è distante la cosa e quanto ci mette la luce, e lo fa qualunque astronomo prima di colazione. Si sta dicendo una cosa più radicale: anche dopo aver corretto tutti i ritardi, dopo aver fatto ogni conto con la massima onestà, due osservatori in moto diverso l'uno rispetto all'altro assegnano ordini diversi agli stessi due eventi lontani. La simultaneità è relativa. Non c'è un modo di stabilire chi ha ragione, perché non c'è niente rispetto a cui stabilirlo — esattamente come non c'era un modo di stabilire chi si stesse muovendo davvero.

La conseguenza è la frase che pesa di più in questo numero: un adesso unico dell'universo non esiste. La domanda «che cosa sta succedendo, in questo preciso momento, su un pianeta a mille anni luce da qui?» non ha una risposta sola. Ha tante risposte quante sono le velocità con cui la si può fare, e sono tutte ugualmente vere.

Questo scioglie un nodo che a questo punto ti sarà già venuto in mente. Se io vedo il tuo orologio rallentare, tu vedi il mio rallentare allo stesso modo: la faccenda è perfettamente reciproca, perché nessuno dei due sta «davvero» viaggiando. Ma allora, chi dei due è indietro?

La domanda contiene un veleno, e il veleno è la parola «è». Dire «il tuo orologio in questo momento è indietro rispetto al mio» significa mettere in relazione due orologi che stanno in posti diversi nello stesso istante — e quell'istante condiviso, appunto, non esiste. Finché i due tirano dritto e non si rincontrano mai, la reciprocità non è un paradosso: è la descrizione corretta di una situazione in cui la domanda non è ben posta.

L'unico confronto su cui nessuno può discutere è quello fatto nello stesso posto. Due orologi affiancati, sincronizzati, separati, e poi riportati fianco a fianco. Lì non c'è più niente da interpretare: o segnano lo stesso numero o no.

Il che vuol dire che per rispondere davvero bisogna far tornare indietro qualcuno.

Chi torna indietro: i gemelli e i muoni del CERN

La versione classica della domanda è nota come paradosso dei gemelli. Uno parte per un viaggio a velocità altissima, l'altro resta a casa; il viaggiatore torna. Chi dei due ha vissuto meno? Ciascuno, durante il viaggio, ha visto l'orologio dell'altro rallentare: se la situazione fosse davvero simmetrica, al ritorno dovrebbero essere entrambi più giovani dell'altro, che è impossibile.

La rottura della simmetria sta tutta in una parola: torna. Chi resta a casa non fa nulla di particolare; chi torna indietro, a un certo punto, deve invertire il moto. E il confronto finale, quello che conta, avviene di nuovo nello stesso posto, dove non c'è più niente da interpretare.

Nel 1977 J. Bailey e i colleghi del CERN capirono che quel viaggio si poteva far fare a qualcosa di molto più maneggevole di un gemello. Un muone muone in un anello di accumulo è costretto a girare in tondo, e quindi a tornare al punto di partenza: è un gemello viaggiatore in miniatura, e ha in dotazione un cronometro che nessuno può accusare di essere tarato male, perché è la sua stessa vita.

Un muone fermo si disintegra dopo pochi microsecondi, e quel «pochi» è una costante di natura, sempre la stessa. I muoni dell'anello del CERN correvano a una velocità corrispondente a γ = 29,33. Vita media misurata: 64,419 microsecondi per i muoni positivi (con un'incertezza di 58 sull'ultima cifra) e 64,368 per quelli negativi (incertezza 29). L'accordo con la previsione relativistica risultò entro due parti su mille, con il 95 per cento di confidenza; il rapporto finale del 1979 lo fissò a (0,8 ± 0,7)×10⁻³.

Fermati un momento su che cosa significa quel 64,4. È esattamente γ volte la vita media che un muone ha da fermo. Visto dal laboratorio, il muone è durato ventinove volte tanto. Visto da sé stesso, non è successo assolutamente niente: la sua vita media, misurata a bordo, sarebbe stata quella normale di sempre.

Anche qui una figura mentale con il suo confine. Viene voglia di immaginare una clessidra portata in viaggio, la cui sabbia scende più lenta perché la clessidra corre. Regge bene la sostanza — una particella instabile, che dovrebbe morire quasi subito, arriva invece lontanissima. Ma la clessidra suggerisce un meccanismo che si inceppa a causa del movimento: attrito, inerzia della sabbia, qualcosa che si oppone. Qui non c'è nulla che si inceppa e nulla che faccia resistenza. Non c'è nessuna forza in gioco. C'è soltanto che i secondi contati a bordo sono meno di quelli contati fuori.

Il paradosso dei gemelli, dunque, non è rimasto una questione di interpretazione da risolvere a parole. È stato misurato, su particelle che vanno e tornano, e la risposta è che chi torna ha vissuto meno.

Quattro orologi su voli di linea

Le particelle però sono facili da accelerare e facili da sospettare: sono oggetti esotici, e chi vuole restare scettico può sempre dire che il muone è una cosa strana di suo. Nel 1971 Joseph Hafele e Richard Keating fecero l'esperimento più a buon mercato nella storia della relatività, e anche il più difficile da liquidare: comprarono dei posti su voli di linea ordinari e ci imbarcarono quattro orologi atomici come passeggeri.

Il giro del mondo lo fecero due volte, e le due volte sono il cuore dell'esperimento: una verso est, una verso ovest.

Il motivo è la rotazione della Terra. Rispetto a un riferimento che non ruota con noi, il suolo si sta già muovendo verso est a velocità considerevole; la velocità dell'aereo si somma a quella rotazione quando si vola verso est, e si sottrae quando si vola verso ovest. I due voli, quindi, non sono lo stesso esperimento fatto due volte: sono due velocità diverse, e l'effetto cambia di segno. Un aereo, per giunta, sta anche in alto — e la quota, come vedremo, spinge nella direzione opposta rispetto alla velocità.

I risultati, pubblicati su Science nel luglio 1972, sono questi. Verso est: previsti −40 ± 23 nanosecondo nanosecondi, misurati −59 ± 10. Verso ovest: previsti +275 ± 21, misurati +273 ± 7.

Sono scarti di decine e centinaia di nanoseco'ndi accumulati in decine di ore di volo: quantità che non hanno alcun effetto sulla vita di nessuno, e che nel 1971 erano al limite di ciò che si riusciva a misurare. Ma sono due segni opposti, previsti prima e trovati dopo, su orologi che si possono prendere in mano.

Dal 1971 in poi, la dilatazione del tempo ha smesso di essere una faccenda di particelle.

I tuoi piedi sono più giovani della tua testa

Fin qui abbiamo parlato di velocità. Ma nell'esperimento del 1971 si è affacciata una seconda cosa, la quota, e adesso tocca a lei.

La gravità fa al tempo qualcosa di analogo e indipendente: un orologio più in basso in un campo gravitazionale batte più lentamente di uno più in alto. Non «sembra», non «viene visto»: batte più lentamente.

Il che ha una conseguenza che è insieme vera, verificabile e leggermente comica. I tuoi piedi stanno più in basso della tua testa nel campo gravitazionale terrestre. Quindi i tuoi piedi invecchiano più lentamente della tua testa. Di una quantità così ridicolmente piccola che non cambierà mai niente per te — ma non di zero.

Per la stessa ragione, le scale di casa sono una macchina del tempo. Salire un piano cambia, di pochissimo, il ritmo del tuo orologio rispetto a chi è rimasto giù. Scientific American l'ha messo nel titolo senza scherzare: «In Einstein's Universe, Airplanes and Staircases Are Time Machines».

E non è più solo una faccenda di principio. Nel 1971 il meglio disponibile erano orologi atomici al cesio abbastanza robusti da poter viaggiare in cabina. Oggi gli orologi ottici sono sensibili a dislivelli di centimetri: alzare un orologio dal pavimento al tavolo è diventata un'operazione che si vede sullo strumento.

Tieni insieme le due regole, perché fra un istante servono tutte e due:

• muoversi in fretta fa restare indietro (è la relatività ristretta, quella nata da Michelson-Morley);
• stare più in alto fa andare avanti (è la relatività generale, quella della gravità).

Il conto del satellite: meno sette e più quarantacinque

Torniamo dove eravamo partiti, e adesso il numero si smonta pezzo per pezzo.

Un satellite GPS sta a 20 200 chilometri di quota e ci gira attorno velocissimo. Sul suo orologio agiscono contemporaneamente le due regole del capitolo precedente, e agiscono in direzioni opposte:

• per la velocità orbitale, l'orologio del satellite perde 7 microsecondi al giorno rispetto a uno a terra. È la relatività ristretta: la stessa cosa dei muoni e dell'aereo verso est;
• per la gravità più debole a quella quota, l'orologio del satellite ne guadagna 45. È la relatività generale: la stessa cosa dei tuoi piedi e della tua testa, ma con ventimila chilometri di dislivello invece di un metro e settanta. È quello che si chiama redshift gravitazionale redshift gravitazionale.

Sottrai: −7 + 45 = +38.

Ecco perché la prima stranezza del capitolo iniziale non era una stranezza. Gli orologi del GPS vanno avanti e non indietro perché lassù la gravità vince sulla velocità: 45 batte 7. Il 38 microsecondi al giorno non è la misura di un effetto, è il resto di una partita fra i due pezzi della relatività, e per la prima volta nella storia della fisica quel resto è diventato un numero di ingegneria.

Il quadro completo, nella trattazione canonica che Neil Ashby ha pubblicato nel 2003 su Living Reviews in Relativity e che tutta la divulgazione successiva cita, mette in conto anche un terzo contributo relativistico, l'effetto Sagnac, accanto alla dilatazione temporale e al redshift gravitazionale.

E il modo in cui la correzione viene applicata è la parte che merita di essere raccontata alla gente: non c'è nessun computer che ogni notte «ricalibra» gli orologi. Gli orologi vengono tarati prima del lancio, a terra, su una frequenza volutamente sbagliata — sbagliata di quel tanto che, una volta lassù, li rende giusti. La correzione è congelata nell'hardware.

Quando il puntino blu ti mette dal lato giusto della strada, quello che stai vedendo funzionare è un pezzo di teoria della relatività scritto dentro un oscillatore, insieme al conto — dieci chilometri di errore al giorno, posizione già falsa dopo due minuti — di che cosa succederebbe se qualcuno l'avesse considerata una curiosità accademica.

Il metro, il fotone e il muro

Se gli orologi rallentano e i righelli si accorciano, resta una domanda legittima: che cosa rimane di fisso? Su che cosa si appoggia una misura, se tutti gli strumenti dipendono da chi li usa?

La risposta è: si appoggia sull'unica cosa su cui l'universo non tratta. E nel 1983 la Conferenza Generale dei Pesi e Misure ha preso quella risposta alla lettera, con una mossa che è insieme umile e radicale: ha smesso di misurare la velocità della luce e l'ha fissata per decreto a 299 792 458 metri al secondo esatti, scegliendo il valore che si accordava con le migliori misure disponibili fino a quel giorno.

Da allora quel numero non è più il risultato di un esperimento: è la definizione del metro. Il metro non è più un oggetto campione custodito da qualche parte, è la distanza che la luce percorre in 1/299 792 458 di secondo. Si è rovesciato il verso: non si misura più il tempo con un righello, si misura la lunghezza con un orologio.

È una cosa che ti passa fra le mani più spesso di quanto pensi. Il metro a nastro del falegname, il misuratore laser che in ferramenta ti dice quanto è larga la stanza: la lunghezza che ti danno è, all'origine della catena, un tempo di volo della luce.

E poi c'è il caso limite, quello che chiude il cerchio in modo quasi insolente. Riprendi la formula: γ cresce senza limite man mano che v si avvicina a c. Che cosa succede alla luce stessa?

Per un fotone, partire e arrivare sono la stessa cosa. Fra i due momenti, dal suo punto di vista, non passa nulla. Il fotone non ha un orologio. Stanotte, se guardi una stella a occhio nudo, quel fotone per noi ha viaggiato per un tempo lunghissimo — e per sé stesso ci ha messo zero.

E allora perché non ci mettiamo tutti a viaggiare così? Perché c'è un muro, e il muro è la massa. Portare un oggetto dotato di massa fino alla velocità della luce richiederebbe energia infinita: non «tantissima», infinita. Il fotone non è il più veloce dei viaggiatori, quello che ha vinto la gara. È in un'altra categoria: ci sta esattamente alla velocità della luce perché non ha massa, e non potrebbe andare a nessun'altra velocità.

Le due frasi che sembravano contraddirsi, all'inizio di questo numero — «non esiste una velocità assoluta» e «la velocità della luce è la stessa per tutti» — adesso stanno insieme senza attrito. La prima parla di oggetti che hanno una massa e un orologio. La seconda parla di qualcosa che non ha né l'una né l'altro.

Quanto lo sappiamo, e dove si sta ancora lavorando

Un conto onesto della solidità, perché una cosa capita bene comprende anche quanto è stata verificata.

La costanza della velocità della luce è la cosa meglio verificata di tutte: nessuna dipendenza dalla direzione fino a 10⁻¹⁷, quindici ordini di grandezza meglio dell'apparato del 1887. La dilatazione del tempo su orologi macroscopici è misurata dal 1971 nei margini d'errore dichiarati, e in due direzioni con segni opposti. Il caso dei gemelli — quello che per decenni si è discusso a parole — è chiuso sperimentalmente con un accordo di (0,8 ± 0,7) su mille. E poi c'è la verifica che nessuno chiama così: qualche miliardo di telefoni che ogni giorno si trovano dove dicono di essere.

Dove si sta ancora lavorando, invece.

I fisici continuano a cercare una violazione. Non è diffidenza rituale: i risonatori criogenici che spingono il limite a 10⁻¹⁷ appartengono a un programma di ricerca vivo, che rifà oggi, con strumenti inimmaginabili nell'Ottocento, la domanda che si facevano Michelson e Morley. Ogni ordine di grandezza guadagnato è una possibilità in più che salti fuori qualcosa.

E c'è un numero, in questo stesso pezzo, che non è ancora stabilito: quanto veloce vada il Sole attorno al centro della Galassia. Lo standard IAU dice 220 chilometri al secondo, Gaia e RAVE danno 240, un'altra compilazione 251. Il disaccordo non riguarda la relatività: riguarda quanto siamo lontani dal centro, che è una misura difficile e in corso.

L'ultima cosa è una discendenza. Lo strumento che Michelson costruì per trovare l'etere — sorgente, specchio semiriflettente, due bracci perpendicolari, frange — non è finito in un museo. I suoi nipoti diretti sono gli interferometri che oggi misurano la fusione di due buchi neri: quando leggi una notizia sulle onde gravitazionali, quella misura arriva dalla macchina che nel 1887 non trovò niente.

Resta il prezzo, ed è il modo giusto di guardare tutta questa faccenda. Puoi arrivare ovunque: dieci anni luce in cinque giorni, se acceleri abbastanza. A condizione che, al ritorno, tu accetti che gli orologi non siano più d'accordo — e che nessuno possa dirti quale dei due sbagliava, perché nessuno dei due sbagliava. La frase con cui la fonte di questo numero chiude è esatta: «The universe is not keeping this from you. It is just showing you the price». L'universo non ti sta nascondendo niente. Ti sta solo mostrando il conto.